Поздравления к юбилею учебного заведения проза6

Разностные схемы для уравнений параболического типа

1. Решение задачи Коши

Рассмотрим задачу Коши для уравнения теплопроводности, , , (3.5)с условием на прямой t=0, . (3.6)Требуется найти функцию , которая при и удовлетворяла бы уравнению (3.5), а при выполняла бы условие (3.6).Будем считать, что задача (3.5), (3.6) имеет в верхней полуплоскости единственное решение , непрерывное вместе со своими производными, i=1, 2 и , k=1, 2, 3, 4.Запишем задачу (3.5), (3.6) в виде . Для этого достаточно положитьБудем далее считать, что t изменяется в пределах . В рассматриваемом случае, Г ? объединение прямых t=0 и t=T.Выберем прямоугольную сетку и заменим область сеточной областью . К области отнесем совокупность узлов , где , , ,, , , .Заменим задачу разностной схемой вида . Обозначим через точное значение решения задачи в узле , а через - соответствующее приближенное решение. Имеем Для замены выражений и воспользуемся формулами численного дифференцирования. Имеем:, (3.7), (3.8), (3.9)(3.10)Назовем некоторую совокупность узлов, привлекаемых для замены задачи в узле , разностной схемой , шаблоном. Наиболее употребительные шаблоны изображены на рис. 3: Рис. 3. Явный и неявный шаблоныРассмотрим явный двухслойный шаблон. Для него(3.11)Здесь мы воспользовались формулами (3.7) и (3.10) и обозначили.Введем обозначение (3.12)Теперь на основании формул (3.11), (3.12) можно записать разностную схему для задачи :, (3.13)где разностный оператор определяется по правилуАналогично, если использовать неявный двухслойный шаблон, можно получить такую разностную схему:, (3.14)гдеНа основании формул (3.11) и (3.13) можно записать,где Аналогично, используя (3.11), (3.10), (3.14), получим,.Выясним порядок аппроксимации разностных схем (3.13) и (3.14). В качестве возьмем линейное множество всех пар ограниченных функций. Норму в определим правиломПусть , где r и s - некоторые положительные числа.Предположим, что для и верны оценки, .Тогда легко получить, (3.15). (3.16)Для параболических уравнений, как мы увидим далее, в случае схемы (3.13) можно взять S=2, а в случае схемы (3.14) можно взять S=1.Из формул (3.15), (3.16) следует, что разностные схемы (3.13), (3.14) аппроксимируют задачу с погрешностью порядка S относительно h.Разностная схема (3.13) позволяет по значениям решения на нулевом слое, то есть по значениям вычислить значения на первом слое . Для этого достаточно в (3.13) положить n = 0 и произвести вычисления, носящие рекурсионный характер. Потом по значениям можно аналогично при n = 1 вычислить значения и т.д. В силу этого разностную схему (3.13) называют явной.Разностная схема (3.14) такими свойствами не обладает. Действительно, если мы в (3.14) положим n = 0, то в левой части полученной формулы будет линейная комбинация из значений , в правой части будут значения известной функции и . Для вычисления значений на первом слое в этом случае необходимо решать бесконечную систему линейных уравнений. По этой причине схему (3.14) называют неявной.2. Устойчивость двухслойных разностных схем

Определим норму в пространстве по правилу.Рассмотрим явную разностную схему (3.13). Выясним, при каких значениях r, возможна устойчивость этой схемы.Для доказательства устойчивости надо показать, что разностная схема однозначно разрешима и при любых, имеет место оценка ,где М - постоянная, не зависящая от и и .Разностная схема (3.13) - явная, и поэтому ее однозначная разрешимость очевидна.Перепишем формулу в виде, , (3.17).Пусть выполнено условиеили . (3.18)Тогда из (3.17) получим:,или. (3.19)Неравенство (3.19) означает, что при , не превосходит , то есть не возрастает с увеличением n.Это свойство однородной разностной схемы принято называть принципом максимума. Положим в (3.19) . Это даст,,.Заметим, что есть число, независящее от m и n. Просуммировав последние неравенства и, учитывая, что , получим(3.20)где обозначеноНа основании (3.20) можно записатьили .Таким образом, разностная схема (3.13) при выполнении условия (3.18), налагаемого на и h, устойчива. Условие (3.18) весьма жестко, ибо из него следует, что. (3.21)Это приводит к тому, что если мы желаем сохранить устойчивость, то при вычислениях по схеме (3.13) шаг по времени приходится выбирать очень малым.Обратимся теперь к разностной схеме (3.14), соответствующей шаблону, изображенному на рис. 4,Рис. 4. Неявный двухслойный шаблони перепишем ее в виде(3.22)Посмотрим, какие надо проделать вычисления, чтобы, используя формулы (3.22), можно было вычислить, например, значения на первом временном слое со значениями на нулевом временном слое. Положив в формулах (3.22) n=0, получим:(3.23)Формулы (3.23) представляют собой бесконечную систему линейных уравнений относительно неизвестных .Решение таких систем является сложной и трудоемкой задачей, поэтому разностные схемы (3.14) неудобны для задач Коши на бесконечных отрезках и применяется редко. Однако если отрезок оси x, на котором рассматривается задача Коши, конечен, то есть , а на прямых x=a и x=b дополнительно заданы некоторые ограничения на решение , то разностные схемы вида (3.14) оказываются весьма эффективными. В частности, можно показать, что такие схемы являются абсолютно устойчивыми, то есть устойчивыми при любых значениях .Если, например, на отрезках прямых x=a и x=b, заданы условия , , то вид системы (3.23) существенно изменится:(3.24)Формулы (3.24) представляют собой систему M+1 алгебраических уравнений относительно . Матрица этой системы трехдиагональна и ее можно решить методом прогонки. Отсюда ясно, что реализация неявных разностных схем требует больших вычислительных затрат для вычисления решения на одном временном слое, но таких слоев может быть немного из-за того, что в этом случае отсутствуют ограничения на соотношение . Если пользоваться явной разностной схемой, то вычисление решения на следующем слое осуществляется по рекурсионному правилу и связано с минимальными вычислительными затратами, однако из-за ограничения число временных слоев в случае явных схем может быть существенно большим по сравнению с числом временных слоев для неявных схем.Рассмотрим теперь вопрос о сходимости схемы (3.13). Эта схема аппроксимирует задачу (3.5), (3.6) с погрешностью порядка и устойчива при . Поэтому схема (3.13), по теореме об аппроксимации и устойчивости, будет сходящейся. При этом погрешность для приближенного решения будет величиной порядка .

Тоже читают:

Репитер своими руками для интернета схема

Как сделать французский маникюр гель лаком и трафаретами

Поздравление 1 годик девочке родителям проза

Ремонт двигателя бензопилы штиль своими руками6

Выкройка думка подушка своими руками