Как из яблок сделать брагу быстро

Как из яблок сделать брагу быстро
Как из яблок сделать брагу быстро
Как из яблок сделать брагу быстро
Как из яблок сделать брагу быстро

1. Решение задачи Коши

Рассмотрим задачу Коши для уравнения теплопроводности

Разностные схемы для уравнений параболического типа, Разностные схемы для уравнений параболического типа,Разностные схемы для уравнений параболического типаРазностные схемы для уравнений параболического типа, (3.5)

с условием на прямой t=0

Разностные схемы для уравнений параболического типа, Разностные схемы для уравнений параболического типа. (3.6)

Требуется найти функцию Разностные схемы для уравнений параболического типа, которая при Разностные схемы для уравнений параболического типа и Разностные схемы для уравнений параболического типа удовлетворяла бы уравнению (3.5), а при Разностные схемы для уравнений параболического типа выполняла бы условие (3.6).

Будем считать, что задача (3.5), (3.6) имеет в верхней полуплоскости единственное решение Разностные схемы для уравнений параболического типа, непрерывное вместе со своими производными

Разностные схемы для уравнений параболического типаi=1, 2 и Разностные схемы для уравнений параболического типа, k=1, 2, 3, 4.

Запишем задачу (3.5), (3.6) в виде Разностные схемы для уравнений параболического типа. Для этого достаточно положить

Разностные схемы для уравнений параболического типа

Разностные схемы для уравнений параболического типа

Будем далее считать, что t изменяется в пределах Разностные схемы для уравнений параболического типа. В рассматриваемом случае

Разностные схемы для уравнений параболического типа,

Г − объединение прямых t=0 и t=T.

Выберем прямоугольную сетку и заменим область Разностные схемы для уравнений параболического типа сеточной областью Разностные схемы для уравнений параболического типа. К области Разностные схемы для уравнений параболического типа отнесем совокупность узлов Разностные схемы для уравнений параболического типа, где

Разностные схемы для уравнений параболического типа, Разностные схемы для уравнений параболического типа, Разностные схемы для уравнений параболического типа,

Разностные схемы для уравнений параболического типа, Разностные схемы для уравнений параболического типа, Разностные схемы для уравнений параболического типа, Разностные схемы для уравнений параболического типа.

Заменим задачу Разностные схемы для уравнений параболического типа разностной схемой вида Разностные схемы для уравнений параболического типа. Обозначим через Разностные схемы для уравнений параболического типа точное значение решения задачи Разностные схемы для уравнений параболического типа в узле Разностные схемы для уравнений параболического типа, а через Разностные схемы для уравнений параболического типа – соответствующее приближенное решение. Имеем

Разностные схемы для уравнений параболического типа

Разностные схемы для уравнений параболического типа

Для замены выражений Разностные схемы для уравнений параболического типаи Разностные схемы для уравнений параболического типавоспользуемся формулами численного дифференцирования. Имеем:

Разностные схемы для уравнений параболического типа, (3.7)

Разностные схемы для уравнений параболического типа, (3.8)

Разностные схемы для уравнений параболического типа, (3.9)

Разностные схемы для уравнений параболического типа (3.10)

Назовем некоторую совокупность узлов, привлекаемых для замены задачи Разностные схемы для уравнений параболического типа в узле Разностные схемы для уравнений параболического типа, разностной схемой  Разностные схемы для уравнений параболического типа, шаблоном. Наиболее употребительные шаблоны изображены на рис. 3:

Разностные схемы для уравнений параболического типа

Разностные схемы для уравнений параболического типа

Рис. 3. Явный и неявный шаблоны

Рассмотрим явный двухслойный шаблон. Для него

Разностные схемы для уравнений параболического типа(3.11)

Здесь мы воспользовались формулами (3.7) и (3.10) и обозначили

Разностные схемы для уравнений параболического типа.

Введем обозначение

Разностные схемы для уравнений параболического типа (3.12)

Теперь на основании формул (3.11), (3.12) можно записать разностную схему для задачи Разностные схемы для уравнений параболического типа:

Разностные схемы для уравнений параболического типа, (3.13)

где разностный оператор Разностные схемы для уравнений параболического типаопределяется по правилу

Разностные схемы для уравнений параболического типа

Аналогично, если использовать неявный двухслойный шаблон, можно получить такую разностную схему:

Разностные схемы для уравнений параболического типа, (3.14)

где

Разностные схемы для уравнений параболического типа

Разностные схемы для уравнений параболического типа

На основании формул (3.11) и (3.13) можно записать

Разностные схемы для уравнений параболического типа,

где Разностные схемы для уравнений параболического типа

Аналогично, используя (3.11), (3.10), (3.14), получим

Разностные схемы для уравнений параболического типа,

Разностные схемы для уравнений параболического типа.

Выясним порядок аппроксимации разностных схем (3.13) и (3.14). В качестве Разностные схемы для уравнений параболического типа возьмем линейное множество всех пар ограниченных функций

Разностные схемы для уравнений параболического типа

Норму в Разностные схемы для уравнений параболического типа определим правилом

Разностные схемы для уравнений параболического типа

Пусть Разностные схемы для уравнений параболического типа, где r и s – некоторые положительные числа.

Предположим, что для Разностные схемы для уравнений параболического типа и Разностные схемы для уравнений параболического типа верны оценки

Разностные схемы для уравнений параболического типа, Разностные схемы для уравнений параболического типа.

Тогда легко получить

Разностные схемы для уравнений параболического типа, (3.15)

Разностные схемы для уравнений параболического типа. (3.16)

Для параболических уравнений, как мы увидим далее, в случае схемы (3.13) можно взять S=2, а в случае схемы (3.14) можно взять S=1.

Из формул (3.15), (3.16) следует, что разностные схемы (3.13), (3.14) аппроксимируют задачу Разностные схемы для уравнений параболического типа с погрешностью порядка S относительно h.

Разностная схема (3.13) позволяет по значениям решения на нулевом слое, то есть по значениям Разностные схемы для уравнений параболического типа вычислить значения на первом слое Разностные схемы для уравнений параболического типа . Для этого достаточно в (3.13) положить n = 0 и произвести вычисления, носящие рекурсионный характер. Потом по значениям Разностные схемы для уравнений параболического типа можно аналогично при n = 1 вычислить значения Разностные схемы для уравнений параболического типа и т.д. В силу этого разностную схему (3.13) называют явной.

Разностная схема (3.14) такими свойствами не обладает. Действительно, если мы в (3.14) положим n = 0, то в левой части полученной формулы будет линейная комбинация из значений Разностные схемы для уравнений параболического типа, в правой части будут значения известной функции Разностные схемы для уравнений параболического типа и Разностные схемы для уравнений параболического типа. Для вычисления значений на первом слое Разностные схемы для уравнений параболического типа в этом случае необходимо решать бесконечную систему линейных уравнений. По этой причине схему (3.14) называют неявной.

2. Устойчивость двухслойных разностных схем

Определим норму в пространстве Разностные схемы для уравнений параболического типа по правилу

Разностные схемы для уравнений параболического типа.

Рассмотрим явную разностную схему (3.13). Выясним, при каких значениях r, Разностные схемы для уравнений параболического типа возможна устойчивость этой схемы.

Для доказательства устойчивости надо показать, что разностная схема однозначно разрешима и при любых

Разностные схемы для уравнений параболического типаРазностные схемы для уравнений параболического типа

имеет место оценка Разностные схемы для уравнений параболического типа,

где М – постоянная, не зависящая от Разностные схемы для уравнений параболического типа и Разностные схемы для уравнений параболического типа и Разностные схемы для уравнений параболического типа.

Разностная схема (3.13) – явная, и поэтому ее однозначная разрешимость очевидна.

Перепишем формулу Разностные схемы для уравнений параболического типа в виде

Разностные схемы для уравнений параболического типа, Разностные схемы для уравнений параболического типа, (3.17)

Разностные схемы для уравнений параболического типа.

Пусть выполнено условие

Разностные схемы для уравнений параболического типа или Разностные схемы для уравнений параболического типа. (3.18)

Тогда из (3.17) получим:

Разностные схемы для уравнений параболического типа,

или

Разностные схемы для уравнений параболического типа. (3.19)

Неравенство (3.19) означает, что при Разностные схемы для уравнений параболического типаРазностные схемы для уравнений параболического типа не превосходит Разностные схемы для уравнений параболического типа, то есть Разностные схемы для уравнений параболического типа не возрастает с увеличением n.

Это свойство однородной разностной схемы принято называть принципом максимума. Положим в (3.19) Разностные схемы для уравнений параболического типа. Это даст

Разностные схемы для уравнений параболического типа,

Разностные схемы для уравнений параболического типа,

Разностные схемы для уравнений параболического типа.

Заметим, что Разностные схемы для уравнений параболического типа есть число, независящее от m и n. Просуммировав последние неравенства и, учитывая, что Разностные схемы для уравнений параболического типа, получим

Разностные схемы для уравнений параболического типа (3.20)

где обозначено

Разностные схемы для уравнений параболического типа

На основании (3.20) можно записать

Разностные схемы для уравнений параболического типа или Разностные схемы для уравнений параболического типа.

Таким образом, разностная схема (3.13) при выполнении условия (3.18), налагаемого на Разностные схемы для уравнений параболического типа и h, устойчива. Условие (3.18) весьма жестко, ибо из него следует, что

Разностные схемы для уравнений параболического типа. (3.21)

Это приводит к тому, что если мы желаем сохранить устойчивость, то при вычислениях по схеме (3.13) шаг по времени Разностные схемы для уравнений параболического типа приходится выбирать очень малым.

Обратимся теперь к разностной схеме (3.14), соответствующей шаблону, изображенному на рис. 4,

Разностные схемы для уравнений параболического типа

Рис. 4. Неявный двухслойный шаблон

и перепишем ее в виде

Разностные схемы для уравнений параболического типа (3.22)

Посмотрим, какие надо проделать вычисления, чтобы, используя формулы (3.22), можно было вычислить, например, значения Разностные схемы для уравнений параболического типа на первом временном слое со значениями Разностные схемы для уравнений параболического типа на нулевом временном слое. Положив в формулах (3.22) n=0, получим:

Разностные схемы для уравнений параболического типа (3.23)

Формулы (3.23) представляют собой бесконечную систему линейных уравнений относительно неизвестных Разностные схемы для уравнений параболического типа .

Решение таких систем является сложной и трудоемкой задачей, поэтому разностные схемы (3.14) неудобны для задач Коши на бесконечных отрезках и применяется редко. Однако если отрезок оси x, на котором рассматривается задача Коши, конечен, то есть Разностные схемы для уравнений параболического типа, а на прямых x=aи x=b дополнительно заданы некоторые ограничения на решение Разностные схемы для уравнений параболического типа, то разностные схемы вида (3.14) оказываются весьма эффективными. В частности, можно показать, что такие схемы являются абсолютно устойчивыми, то есть устойчивыми при любых значениях Разностные схемы для уравнений параболического типа.

Если, например, на отрезках прямых x=a и x=b, заданы условия Разностные схемы для уравнений параболического типаРазностные схемы для уравнений параболического типа, то вид системы (3.23) существенно изменится:

Разностные схемы для уравнений параболического типаРазностные схемы для уравнений параболического типа (3.24)

Формулы (3.24) представляют собой систему M+1 алгебраических уравнений относительно Разностные схемы для уравнений параболического типа. Матрица этой системы трехдиагональна и ее можно решить методом прогонки. Отсюда ясно, что реализация неявных разностных схем требует больших вычислительных затрат для вычисления решения на одном временном слое, но таких слоев может быть немного из-за того, что в этом случае отсутствуют ограничения на соотношение Разностные схемы для уравнений параболического типа. Если пользоваться явной разностной схемой, то вычисление решения на следующем слое осуществляется по рекурсионному правилу и связано с минимальными вычислительными затратами, однако из-за ограничения

Разностные схемы для уравнений параболического типа 

число временных слоев в случае явных схем может быть существенно большим по сравнению с числом временных слоев для неявных схем.

Рассмотрим теперь вопрос о сходимости схемы (3.13). Эта схема аппроксимирует задачу (3.5), (3.6) с погрешностью порядка Разностные схемы для уравнений параболического типа и устойчива при Разностные схемы для уравнений параболического типа. Поэтому схема (3.13), по теореме об аппроксимации и устойчивости, будет сходящейся. При этом погрешность для приближенного решения будет величиной порядка Разностные схемы для уравнений параболического типа.

Как из яблок сделать брагу быстро Как из яблок сделать брагу быстро Как из яблок сделать брагу быстро Как из яблок сделать брагу быстро Как из яблок сделать брагу быстро Как из яблок сделать брагу быстро Как из яблок сделать брагу быстро Как из яблок сделать брагу быстро Как из яблок сделать брагу быстро Как из яблок сделать брагу быстро Как из яблок сделать брагу быстро

Тоже читают:



Реконструкция шоссе энтузиастов схема движения5

3d как сделать фильм из

Тахограф схема подключения питания

Поздравления с праздником на азербайджанском языке

Герберы из бумаги своими руками шаблоны